Графовое представление

Графовое представление традиционной силлогистики

Здесь представлено теоретическое обоснование функционирования построителя простых категорических силлогизмов.

В этой работе предлагается представлять простые категорические силлогизмы в виде особого графа. Такой подход позволяет наглядно представить суждения и их отношения в силлогизме, а также строго формализовать вывод правильных силлогизмов.

1. Основы традиционной силлогистики

Известны формы абстрактного мышления: понятие, суждение, умозаключение.
Понятие определяет конкретные объекты мышления.
Суждение устанавливает логическую связь между понятиями.
Умозаключение позволяет на основании известных суждений выводить новые.
Известны четыре вида простых категорических суждений:
- общеутвердительное;
- частноутвердительное;
- общеотрицательное;
- частноотрицательное.
Их соответственно обозначают символами: A, I, E, O.
Пример общеутвердительного (A) суждения: все люди - братья.
Пример частноутвердительного (I) суждения: некоторые птицы - водоплавающие.
Пример общеотрицательного (E) суждения: все люди не безгрешны.
Пример частноотрицательного (O) суждения: некоторые птицы не летают.
Первое понятие в суждении называется субъектом, второе - предикатом.
Они соединены логической связкой, которая выражает либо утверждение - "является", либо отрицание - "не является".
Для субъекта указывается либо общность - "все", либо частность - "некоторые".
В традиционной силлогистике и в логике высказываний частные суждения рассматриваются как неопределённые. То есть, в них кванторное слово "некоторые" трактуется как "некоторые или все", но не как "некоторые, только не все".
В этом случае из общих суждений следуют также и частные:
из A следует I (если все люди братья, то и некоторые люди братья);
из E следует O (если все люди не безгрешны, то и некоторые люди не безгрешны).

Известны умозаключения, представляющие собой простые категорические силлогизмы, состоящие из трёх суждений, связывающих три понятия.
Первые два суждения силлогизма называют посылками, из них логически выводится третье, которое называется заключением.
Три понятия силлогизма называют терминами, они имеют обозначения:
- субъект (S);
- предикат (P);
– средний термин(M).
Заключение силлогизма связывает субъект с предикатом.
Первая посылка силлогизма (называемая большей) связывает между собой средний термин и предикат.
Вторая посылка (называемая меньшей) связывает между собой субъект и средний термин.
Средний термин, таким образом, входит в обе посылки и является связующим звеном, посредником между субъектом силлогизма и его предикатом.
Известны 19 правильных категорических силлогизмов.
Их подразделяют на четыре фигуры.
Субъектами посылок 1 фигуры являются термины M и S.
Субъектами посылок 2 фигуры являются термины P и S.
Субъектом посылок 3 фигуры является в обоих случаях термин M.
Субъектами посылок 4 фигуры являются термины P и M.
Во всех фигурах субъектом заключения является термин S, а предикатом - термин P.
Если необходимо получить заключение другой формы, надо преобразовать силлогизм таким образом, чтобы его субъект и предикат поменялись местами.
Силлогизмы каждой фигуры описываются модусами в виде последовательности трёх символов из набора a, i, e, o. Первый символ последовательности обозначает тип суждения большей посылки, второй - тип суждения меньшей посылки, третий - тип суждения заключения.
Перечислим все 19 модусов:
модусы 1 фигуры - aaa, eae, aii, eio;
модусы 2 фигуры - eae, aee, eio, aoo;
модусы 3 фигуры - aai, iai, aii, eao, oao, eio;
модусы 4 фигуры - aai, aee, iai, eao, eio.
Далее будем трактовать понятие экстенсионально, то есть, как множество объектов, подпадающих под это понятие.
Будем оперировать объёмами понятий, абстрагируясь от их смыслового содержания. Определяя содержание понятий лишь через их отношение к другим понятиям.
При этом будем различать только пустые и непустые объёмы понятий, не выделяя особо из последних единичные понятия.
В традиционной силлогистике множества объектов, подпадающих под понятия, подразумеваются непустыми.
Множества могут разбиваться на подмножества, некоторые из которых могут быть пустыми.

Известна графическая схема множества — круг Эйлера, который содержит внутри себя множество объектов, подпадающих под некоторое понятие. Объекты, не подпадающие под это понятие, представляются находящимися вне круга.
Известна графическая схема логического соотношения понятий — диаграмма Венна, состоящая из пересекающихся кругов Эйлера.
Диаграмма Венна для n понятий состоит из n кругов.
Эти круги разбивают пространство на 2^n простых частей (ячеек).
Каждая ячейка обозначает подмножество объектов. Каждое такое подмножество состоит из объектов, подпадающих под те понятия, внутри кругов которых эта ячейка расположена. При этом объекты этого подмножества не подпадают под те понятия, вне кругов которых лежит данная ячейка.
Далее будем говорить, что подмножество входит или не входит в те или иные понятия.
Любому множеству понятий из числа представленных на диаграмме (включая пустое множество) можно однозначно сопоставить одну ячейку, обозначающую подмножество, которое входит в каждое понятие из этого множества и не входит ни в какие другие понятия, представленные на диаграмме.
Таким образом, множество ячеек диаграммы Венна образует булеан множества понятий.

2. Графовое представление диаграммы Венна

Представим этот булеан в виде множества, состоящего из 2^n n-компонентных булевых кортежей, состоящих из нулей и единиц. Каждый такой кортеж можно отождествить с ячейкой диаграммы Венна, так что он будет обозначать соответствующее подмножество.
Сопоставим каждую двоичную компоненту этих кортежей с одним из понятий. Пусть единица в компоненте указывать на то, что обозначаемое этим кортежем подмножество входит в соответствующее понятие. А ноль в компоненте — на то, что обозначаемое данным кортежем подмножество не входит в соответствующее понятие.

Построим граф, вершины которого тождественны описанным кортежам. Каждая вершина графа будет также тождественна ячейке диаграммы Венна и обозначать соответствующее подмножество.
Если кортежи, тождественные вершинам графа, рассматривать как координаты этих вершин, мы получим единичный n-мерный куб, каждое измерение которого соответствует одному из понятий.
Раскладка такого графа для трёх понятий может представлять собой проекцию куба. При этом вершина с координатами (000), обозначающая подмножество, не входящее ни в одно из этих трёх понятий , может рассматриваться как невидимая на проекции.

Для указания объёма подмножеств, обозначаемых вершинами этого графа, будем присваивать вершинам числовые значения (веса).
В случае непустого подмножества будем присваивать соответствующей вершине значение 1.
В случае пустого подмножества будем присваивать соответствующей вершине значение -1.
Если объём подмножества не определён, будем считать значение вершины равным 0.
Вершины с ненулевыми весами будем называть заданными.

3. Представление суждений

Рассмотрим простое категорическое суждение. Оно логически связывает два понятия. Первое называется субъектом (S), второе — предикатом (P).
Схематически оно представляется диаграммой Венна, состоящей из двух кругов.
Булеан множества из двух понятий будет представлен четырьмя двухкомпонентными кортежами. Пусть первая компонента кортежей указывает на субъект суждения, а вторая на предикат.
Граф, описывающий подмножества простого категорического суждения, будет представлять собой единичный двумерный куб (т.е. квадрат). Первая его координата пусть соответствует субъекту суждения, а вторая — предикату.
Тогда, подмножество, входящее в субъект, но не входящее в предикат, будет обозначено вершиной (10).
Подмножество, входящее и в субъект, и в предикат, обозначено вершиной (11).
Подмножество, входящее только в предикат, но не в субъект, обзначено вершиной (01).
Подмножество, не входящее ни в одно из понятий, обозначено вершиной (00).
Заметим, что общеутвердительное (A) суждение задаёт вершине (10) значение -1.
То есть, не существует субъектов, не соответствующих предикату.
A -> (10):=-1.
Например, суждение "все люди - братья" означает "нет людей, которые не братья".
Частноутвердительное (I) суждение задаёт вершине (11) значение 1.
То есть, существуют субъекты, соответствующие предикату.
I -> (11):=1.
Например, суждение "некоторые птицы водоплавающие" означает "есть птицы, которые водоплавающие".
Общеотрицательное (E) суждение задаёт вершине (11) значение -1.
То есть, не существует субъектов, соответствующих предикату.
E -> (11):=-1.
Например, суждение "все люди не безгрешны" означает "нет людей, которые безгрешны".
Частноотрицательное (O) суждение задаёт вершине (10) значение 1.
То есть, существуют субъекты, не соответствующие предикату.
O -> (10):=1
Например, суждение "некоторые птицы не летают" означает "есть птицы, которые не летают".

4. Представление силлогизма.

Рассмотрим простой категорический силлогизм. Он включает в себя три понятия, которые называются терминами силлогизма и обозначаются S, M и P.
Схематически силлогизм представляется диаграммой Венна, состоящей из трёх кругов.
Булеан множества из трёх понятий будет представлен восемью трёхкомпонентными кортежами. Пусть первая компонента кортежей указывает на термин S, вторая на термин M, а третья — на P.
Рассмотрим граф, описывающий подмножества простого категорического силлогизма.
Простой категорический силлогизм состоит из трёх простых суждений, связывающих три понятия. Для описания его подмножеств будем использовать трёхзначные кортежи. Пусть первая их компонента указывает на субъект (S) силлогизма, вторая— на средний термин (M), а третья— на предикат (P) силлогизма.

Заметим, что из любого двухкомпонентного кортежа можно получить два трёхкомпонентных путём добавления в него в некоторой позиции в первом случае нуля, а во втором — единицы.
Данным способом любое множество двухкомпонентных кортежей можно преобразовать в множество трёхкомпонентных кортежей.
Значит, граф, описывающий подмножества простого суждения, можно преобразовать в граф, описывающий подмножества силлогизма, путём добавления новой компоненты, то есть понятия.
И наоборот, если в множестве трёхкомпонентных кортежей, описывающих подмножества простого категорического силлогизма, удалить одну из трёх компонент, а затем в полученном множестве двухкомпонентных кортежей удалить дублирующиеся кортежи, мы получим множество кортежей, описывающих подмножества простого категорического суждения.
Данным способом можно преобразовать граф, описывающий подмножества простого силлогизма, в граф, описывающий подмножества одного из суждений, составляющих данный силлогизм. Способом удаления одной из компонент, то есть, одного из понятий.
Это означает, что в графе, описывающем подмножества простого категорического силлогизма, любая пара вершин, кортежи которых различаются строго в одной компоненте, соответствует строго одному из подмножеств одного из суждений, составляющих данный силлогизм.
И наоборот, любому подмножеству любого из составляющих силлогизм суждений соответствует одна и только одна пара вершин графа силлогизма, различающихся строго в одной компоненте.

Граф, описывающий подмножества простого категорического силлогизма, является трёхмерным единичным кубом, вершины которого обозначены трёхкомпонентными кортежами. Соединим рёбрами те его вершины, кортежи которых различаются строго в одной компоненте. Получим диаграмму Хассе. Каждое ребро полученного графа тождественно одной из частей одного из входящих в силлогизм суждений.

5. Свойства графа силлогизма

Поскольку компонент три, каждая вершина графа оказывается смежной (соединённой ребром) с тремя другими вершинами — по одной для каждой компоненты. Такой граф называется кубическим.
По известной формуле определим число рёбер в данном графе: 8*3/2=12.
Заметим, что раскладка этого графа может представлять собой проекцию куба. Поэтому назовём данный граф, отражающий подмножества силлогизма, силлогистическим кубом.
По умолчанию будем считать вершину силлогистического куба (000) и инцидентные ей рёбра "невидимыми". В обычных случаях, касающихся традиционной силлогистики, будем пользоваться порождённым подграфом полного силлогистического куба.

Рёбра силлогистического куба можно обозначать парами кортежей смежных вершин, инцидентных (прилежащих) этому ребру. Например: (000)-(001). Но поскольку две из трёх компонент кортежей смежных вершин силлогистического куба совпадают, можно вместо двух кортежей для обозначения ребра использовать один, поместив на место несовпадающей компоненты символ 'X'.
Например, кортеж (00X) будет обозначать ребро, инцидентное вершинам (000) и (001).

Рассмотрим группы рёбер, инцидентных вершинам, кортежи которых различны в одной и той же компоненте. Например, рёбра (00X), (01X), (10X), (11X), соединяющие вершины, кортежи которых различаются в третьей компоненте. Назовём эти группы параллельными. Понятно, что параллельных групп будет три, по числу компонент.
Все вершины силлогистического куба будут инцидентны каждой параллельной группе рёбер, поскольку для любой вершины силлогистического куба можно найти другую вершину, кортеж которой отличается в заданной компоненте.
В каждой параллельной группе не будет смежных рёбер, поскольку кортежи двоичны, то есть, у каждой вершины силлогистического куба есть только одна парная вершина, кортеж которой отличается в заданной компоненте. Если у первой вершины там стоит 1, то у второй 0, и наоборот. Поэтому каждая вершина будет инцидентна только одному ребру параллельной группы.
Подобные группы рёбер графа называют совершенными паросочетаниями.

6. Свойства паросочетаний

Обозначим каждое паросочетание силлогистического куба символьным кортежем, заменив в кортежах входящих в него рёбер двоичные числа символами терминов силлогизма. Получим следующие кортежи: (SMX), (SXP), (XMP).
Как сказано выше, каждое ребро силлогистического куба тождественно одному из подмножеств одного из суждений силлогизма. А поскольку во всех рёбрах одного паросочетания присутствует одна и та же компонента 'X', то все они относятся к одному и тому же суждению.
Так, в паросочетание (SMX) входят рёбра силлогистического куба, тождественные подмножествам суждения меньшей посылки силлогизма, связывающей между собой субъект и средний термин. Это наглядно видно по его кортежу.
Соответственно, паросочетание (XMP) представляет подмножества большей посылки, а паросочетание (SXP) - подмножества заключения силлогизма.

Будем присваивать рёбрам силлогистического куба числовые значения так же, как мы условились это делать для вершин. Тогда меньшая посылка силлогизма будет задавать значение одному из рёбер паросочетания (SMX), а большая посылка - одному из рёбер паросочетания (XMP).
Например, общеутвердительное суждение "Все M есть P" (записывается 'MaP') задаёт ребру (X10) значение -1. То есть, нет таких M, которые были бы не P.
А частноутвердительное суждение "Некоторые S есть M" (записывается 'SiM') задаёт ребру (11X) значение 1. То есть, есть такие S, которые M.
Зная значение некоторого ребра можно восстановить задающее его суждение. Так, например, из значения ребра (1X1)=1 можно вывести суждение "Некоторые S есть P" (SiP).

7. Вывод заключения

Поскольку заключение силлогизма выводится их двух суждений-посылок, а любое суждение определяет значение одного из рёбер силлогистического куба, перед нами стоит задача определить, как можно по значениям двух рёбер силлогистического куба найти значение некоторого третьего ребра.
Говоря конкретнее — как по значению одного из рёбер паросочетания (XMP) и значению одного из рёбер паросочетания (SMX) найти значение какого-нибудь ребра из паросочетания (SXP).
Ребро силлогистического куба тождественно объединению пары подмножеств силлогизма, обозначенных инцидентными ему вершинами.
Будем далее для краткости называть инцидентные ребру вершины силлогистического куба вершинами этого ребра.

Объединение подмножеств пусто тогда и только тогда, когда пусты все входящие в него подмножества. Следовательно, значение ребра силлогистического куба равно -1 тогда и только тогда, когда обе его вершины имеют значение -1. Обратное верно.
Объединение подмножеств не пусто, если не пусто хотя бы одно из входящих в него подмножеств. Следовательно, значение ребра силлогистического куба равно 1, если хотя бы одна из его вершин имеет значение 1. Обратное верно.
Итак, чтобы определить значение ребра силлогистического куба, нам необходимо установить либо то, что обе его вершины отрицательны (тогда и ребро будет отрицательно), либо то, что хотя бы одна из его вершин положительна (тогда и ребро будет положительно).
Обе вершины ребра силлогистического куба отрицательны в том случае, когда каждая из них инцидентна отрицательному ребру, смежному с искомым ребром.
Таким образом, если искомое ребро является средним звеном в цепи из трёх рёбер, и смежные с ним рёбра отрицательны, то оно отрицательно.
У положительного ребра силлогистического куба хотя бы одна вершина должна быть положительна. Если положительное ребро смежно с отрицательным, значит, та его вершина, которая инцидентна отрицательному ребру, отрицательна. Следовательно, вторая его вершина положительна.
Таким образом, если искомое ребро силлогистического куба является крайним звеном в цепи из трёх рёбер и смежно с положительным ребром, которое в свою очередь смежно с отрицательным ребром, то оно положительно.
Таким образом, мы обнаружили две конфигурации рёбер силлогистического куба, позволяющие по значению двух рёбер определить значение третьего ребра. Обе конфигурации представляют собой цепи из трёх рёбер.

8. Грань кубического графа

Вершины силлогистического куба, имеющие единицу в одной и той же компоненте их кортежей, обозначают подмножества, входящие в одно понятие. Множество всех таких вершин тождественно одному из понятий силлогизма. Назовём множества таких вершин гранями силлогистического куба.
Рассмотрим подграф грани силлогистического куба. Кортежи всех его вершин совпадают в одной компоненте. А поскольку оставшиеся две двоичные компоненты образуют 2^2=4 вариации, данный подграф содержит четыре вершины.
Если в кортежах этих вершин удалить совпадающую компоненту, получится множество двухкомпонентных кортежей, описывающее двумерный двоичный куб. То есть, квадрат — грань куба.

Поскольку понятия силлогизма подразумеваются непустыми, хотя бы одна из вершин грани силлогистического куба должна иметь значение 1. Значит, если три вершины грани силлогистического куба соединены двумя смежными отрицательными рёбрами, то четвёртая вершина грани положительна.
Эта вершина (как и любая вершина кубического графа) инцидентна трём рёбрам, которые тоже получаются положительными. Два из них принадлежат той же грани в дополнение к двум отрицательным. Третье ребро лежит вне этой грани, можно сказать, оно перпендикулярно этой грани.
Таким образом, мы обнаружили ещё одну конфигурацию рёбер силлогистического куба, позволяющую по значениям двух рёбер определить значение третьего ребра. Она представляет собой два смежных ребра и третье, несмежное ни с одним из них, перпендикулярное им.

9. Другие сочетания рёбер графа

Как было указано выше, рёбра в паросочетаниях не смежны. Мы можем считать их параллельными рёбрами силлогистического куба.
А поскольку эти паросочетания совершенны, любое ребро, не входящее в паросочетание, окажется смежным с одним из рёбер этого паросочетания. Значит, любые два паросочетания силлогистического куба мы можем считать перпендикулярными друг другу. Таким образом, три ребра из трёх разных паросочетаний мы можем представлять как три взаимоперпендикулярных ребра куба.

Рассмотрим другие варианты сочетания рёбер силлогистического куба в трёхзвенной цепи.
Если искомое ребро крайнее в цепи и смежно с отрицательным ребром, этого недостаточно для определения его отрицательности, тем более положительности.
Если искомое ребро среднее в цепи и смежно с одним или двумя положительными рёбрами, этого недостаточно для определения его положительности, тем более отрицательности.

Рассмотрим другие возможные конфигурации трёх взаимоперпендикулярных рёбер силлогистического куба, помимо цепи. Они могут образовывать три конфигурации:
1) все три ребра смежны в одной точке;
2) смежны только два ребра;
3) все три ребра несмежны.
Заметим, что в этих конфигурациях расположение двух рёбер однозначно задаёт расположение третьего ребра.
Поскольку все эти конфигурации — не цепи, то искомое ребро может оказаться смежным с другими рёбрами, в лучшем случае, лишь одной своей вершиной. Таким образом его отрицательность не может быть определена.
Определить положительность ребра тем способом, как это сделано в случае цепи, здесь тоже невозможно.
Значит, определить значение ребра только по его положению относительно других рёбер в этих конфигурациях нельзя.
Но в одном случае возможно определить значение ребра по его положению относительно грани силлогистического куба, как это было показано выше. Это конфигурация с двумя смежными отрицательными рёбрами.

Заметим, что эту конфигурацию можно преобразовать таким образом, чтобы получилась цепь. Для этого любое из двух отрицательных рёбер следует заменить параллельным ему положительным ребром. Таким, чтобы оно было одновременно смежным и с другим отрицательным ребром, и с искомым ребром.
Такая замена основана на принципе вывода частных суждений из общих. Общее суждение, задающее отрицательное значение ребра силлогистического куба, заменяется следующим из него частным суждением, задающим положительное значение подходящего параллельного ребра.

10. Рёбра заключения

Итак, мы имеем ровно три конфигурации двух заданных рёбер силлогистического куба, позволяющие определить значение третьего ребра.
1 конфигурация: два несмежных отрицательных ребра. Определяет отрицательное ребро, смежное с обоими.
2 конфигурация: смежные отрицательное и положительное ребро. Определяет положительное ребро, смежное с положительным.
3 конфигурация: два смежных отрицательных ребра. Определяет положительное ребро, несмежное ни с одним из них.
Во всех случаях речь идёт о трёх взаимоперпендикулярных рёбрах силлогистического куба.

Из этих трёх взаимоперепендикулярных рёбер заданными должны быть рёбра из паросочетаний (SMX) и (XMP), поскольку они задаются суждениями-посылками силлогизма. А определять необходимо ребро из паросочетания (SXP), поскольку по его значению можно вывести суждение-заключение силлогизма.
Причём, поскольку в традиционной силлогистике субъектом заключения обязан быть термин S, а предикатом термин P, то в первую очередь нас должны интересовать значения рёбер (1X0) и (1X1).
Приведём варианты этих значений с соответствующими им суждениями:
(1X0)=1 -> некоторые S не есть P (SoP);
(1X0)=-1 -> все S есть P (SaP);
(1X1)=1 -> некоторые S есть P (SiP);
(1X1)=-1 -> все S не есть P (SeP).
Значение ребра (0X1) важно, только если оно отрицательно. Тогда ему соответствует суждение "все P есть S", из которого следует "некоторые P есть S", которое равнозначно суждению "некоторые S есть P" (PaS -> PiS-> SiP).
Иначе это можно выразить: (0X1)=-1 -> (1X1)=1.
Значение ребра (0X0) в рамках традиционной силлогистики безразлично.

Поскольку в суждениях-посылках силлогизма субъект и предикат этих суждений могут меняться местами, возможны не 4, а 8 вариантов этих суждениий. Это значит, что одно и то же значение одного и того же ребра может быть задано различными суждениями.
Речь, конечно, о рёбрах с симметричными кортежами: (11X) и (X11).
Положительное значение ребра (11X) задаётся суждениями SiM и MiS.
Отрицательное значение ребра (11X) задаётся суждениями SeM и MeS.
Положительное значение ребра (X11) задаётся суждениями MiP и PiM.
Отрицательное значение ребра (X11) задаётся суждениями MeP и PeM.

11. Ориентированные рёбра

Чтобы устранить двусмысленность и обозначить, каким именно суждением задано значение этих рёбер, введём в силлогистического куб ориентацию рёбер.
Условимся считать, что направление ребра зависит от порядка терминов в обозначении определяющего его суждения.
Если этот порядок совпадает с порядком терминов в кортеже соответствующего паросочетания, назовём его прямым. В ином случае назовём его обратным.
Например, в суждении SiM порядок совпадает с порядком в кортеже (SMX), он прямой. А в суждении MiS — обратный.
Условимся, что при прямом порядке исходящей вершиной направленного ребра является та, в кортеже которой содержатся одни единицы. А при обратном порядке исходящей будет та, в кортеже которой имеется ноль.
Например, суждение SiM будет определять ребро, направленное от вершины (111) к вершине (110), а суждение MiS — от вершины (110) к вершине (111).
Рёбра обратного порядка будем, в отличие от рёбер прямого порядка, обозначать знаком '-' перед кортежем (не путать с отрицательным значением ребра). Например, (-11X).

12. Перебор посылок

Переберём все варианты расположения и значений рёбер, определяемых суждениями-посылками силлогизма. И выделим те из них, которые позволяют найти значение ребёр паросочетания (SXP), из чего можно вывести суждение-заключение силлогизма. То есть, найдём все правильные силлогизмы.
Для удобства сопоставления с традиционной силлогистикой воспользуемся подразделением конфигураций на фигуры. Перечислим определяемые рёбра.
1 фигура: (X10) или (X11); (10X) или (11X).
2 фигура: (X01) или (-X11); (10X) или (11X).
3 фигура: (X10) или (X11); (01X) или (-11X).
4 фигура: (X01) или (-X11); (01X) или (-11X).
По каждой фигуре имеется четыре варианта сочетания рёбер групп (SMX) и (XMP).

По каждому сочетанию необходимо определить, являются ли эти рёбра смежными.
Если они несмежны, между ними можно добавить ребро, образовав конфигурацию 1.
Если они смежны, к одному из них можно добавить ребро, образовав конфигурацию 2.
Или добавить несмежное с ними обоими ребро, образовав конфигурацию 3.
Смежные рёбра имеют совпадение во второй компоненте.
Ребро, смежное с одним из них и не смежное с другим, будет иметь совпадение по известной компоненте первого и несовпадение по известной компоненте второго.
Ребро, несмежное с обоими, будет иметь несовпадение по известным компонентам обоих.
Ребро, одновременно смежное с двумя несмежными рёбрами, будет иметь совпадение по известным компонентам обоих.
При образовании конфигураций 2 и 3 следует игнорировать те случаи, когда добавляются рёбра (0X1) или (0X0), поскольку из их значений невозможно вывести суждение, удовлетворяющее требованиям традиционной силлогистики. А именно, чтобы это было суждение, субъектом которого является термин S, а предикатом — термин P.
При образовании конфигурации 1 возможно добавление ребра (0X1), поскольку оно в этой конфигурации имеет отрицательный вес, и из него можно вывести частное суждение, удовлетворяющее требованиям традиционной силлогистики.

Для выведения модуса силлогизма следует обращать внимание на вес рёбер и на наличие в их кортежах нулей.
Отрицательное ребро с нулём в кортеже соответствует суждению типа A.
Положительное ребро без нулей в кортеже соответствует суждению типа I.
Отрицательное ребро без нулей в кортеже соответствует суждению типа E.
Положительное ребро с нулём в кортеже соответствует суждению типа O.

Рассмотрим по порядку.
1 фигура (X10) и (10X). Несмежные. Смежны с ребром (1X0). Конфигурация 1. Модус aaa.
1 фигура (X10) и (11X). Смежные в вершине (110).
Ребро (X10) смежно с ребром (0X0). Игнорируем.
Ребро (11X) смежно с ребром (1X1). Конфигурация 2. Модус aii.
Несмежное с обоими ребро (0X1). Игнорируем.
1 фигура (X11) и (10X). Несмежные. Смежны с ребром (1X1). Конфигурация 1. Модус eae.
1 фигура (X11) и (11X). Смежные в вершине (111).
Ребро (X11) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Ребро (11X) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус eio.
Несмежное с обоими ребро (0X0). Игнорируем.

2 фигура (X01) и (10X). Смежные в вершине (101).
Ребро (X01) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Ребро (10X) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус aoo.
Несмежное с обоими ребро (0X0). Игнорируем.
2 фигура (X01) и (11X). Несмежные. Смежны с ребром (1X1). Конфигурация 1. Модус aee.
2 фигура (-X11) и (10X). Несмежные. Смежны с ребром (1X1). Конфигурация 1. Модус eae.
2 фигура (-X11) и (11X). Смежные в вершине (101).
Ребро (-X11) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Ребро (11X) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус eio.
Несмежное с обоими ребро (0X0). Игнорируем.

3 фигура (X10) и (01X). Смежные в вершине (010).
Ребро (X10) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус oao.
Ребро (01X) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Несмежное с обоими ребро (1X1). Конфигурация 3. Модус aai.
3 фигура (X10) и (-11X). Смежные в вершине (110).
Ребро (X10) смежно с ребром (0X0). Игнорируем.
Ребро (-11X) смежно с ребром (1X1). Конфигурация 2. Модус aii.
Несмежное с обоими ребро (0X1). Игнорируем.
3 фигура (X11) и (01X). Смежные в вершине (011).
Ребро (X11) смежно с ребром (1X1). Конфигурация 2. Модус iai.
Ребро (01X) смежно с ребром (0X0). Игнорируем.
Несмежное с обоими ребро (1X0). Конфигурация 3. Модус eao.

3 фигура (X11) и (-11X). Смежные в вершине (111).
Ребро (X11) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Ребро (-11X) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус eio.
Несмежное с обоими ребро (0X0). Игнорируем.

4 фигура (X01) и (01X). Несмежные. Смежны с ребром (0X1). Конфигурация 1.
Из полученного общеотрицательного суждения PaS выводим соответствующее требованиям традиционной силлогистики частноположительное суждениие SiP. Модус aai.
4 фигура (X01) и (-11X). Несмежные. Смежны с ребром (1X1). Конфигурация 1. Модус aee.
4 фигура (-X11) и (01X). Смежные в вершине (011).
Ребро (-X11) смежно с ребром (1X1). Конфигурация 2. Модус iai.
Ребро (01X) смежно с ребром (0X0). Игнорируем.
Несмежное с обоими ребро (1X0). Конфигурация 3. Модус eao
4 фигура (-X11) и (-11X). Смежные в вершине (111).
Ребро (-X11) смежно с ребром (0X1). Игнорируем.
Ребро (-11X) смежно с ребром (1X0). Конфигурация 2. Модус eio.
Несмежное с обоими ребро (0X0). Игнорируем.

Полученные модусы соответствуют известным в традиционной силлогистике.

13. Общие формулы

Выведем общие формулы, позволяющие находить правильные силлогизмы.
Если искомое ребро силлогистического куба, из значения которого выводится суждение-заключение силлогизма, имеет кортеж вида (nXm), то рёбра, определяемые суждениями-посылками силлогизма имеют кортежи, вычисляемые по формулам:
1) конфигурация 1 — (Xam) и (n(1-a)X);
2) конфигурация 2а — (Xam) и ((1-n)aX);
3) конфигурация 2б — (Xa(m-1) и (naX);
4) конфигурация 3 — (Xa(m-1)) и ((n-1)aX).
Для ребра (0X1) рассматривается только формула конфигурации 1:
(Xam) и (n(1-a)X).
Ребро (0X0) не рассматривается.

Поскольку для целей традиционной силлогистики непригодна вершина силлогистического куба (000), то из множества решений удаляются рёбра, инцидентные этой вершине: (X00) и (00X).
Исходя из этого, для формул необходимо выполнение следующих условий:
1) (Xam) и (n(1-a)X) — m=0 -> a=1; n=0 -> a=0;
2) (Xam) и ((1-n)aX) — m=0 -> a=1; n=1 -> a=1;
3) (Xa(1-m)) и (naX) — m=1 -> a=1; n=0 -> a=1;
4) (Xa(1-m)) и ((1-n)aX) — m=1 -> a=1; n=1 -> a=1.

Для первой формулы допустимы 3 варианта сочетаний значений m и n (за исключением m=0 & n=0).
Для двух из этих вариантов однозначно задаётся значение a. И только по одному варианту a может принимать оба значения.
Таким образом, первая формула допускает 4 варианта сочетаний значений n, m и a.
Для остальных трёх формул допустимо значение n=1 в сочетании с любым из двух значений m.

Для третьей формулы по одному из этих сочетаний однозначно задаётся значение a.

Таким образом, эта формула допускает 3 варианта сочетаний значениий n, m и a.
Для второй и четвёртой формулы значение a задано однозначно.
Таким образом, эти форммулы допускают по 2 варианта сочетаний значениий n, m и a.

Итого, для всех четырёх формул имеем 11 вариантов сочетаний значениий n, m и a.

Перечислим их и вычислим по ним кортежи. А также выведем модусы.
Субъекты суждений определяются по тому, в каких компонентах стоят единицы. Исходя из этого определяются фигуры силлогизмов.
n, m, a ___ (SXP)__(XMP)_(SMX)
1 формула
0, 1, 0; ___ (0X1) __ (X01)_(01X) PM 4 фигура, заключение PaS преобразуется в SiP aai
1, 0, 1; ___ (1X0) __ (X10)_(10X) MS 1 фигура aaa
1, 1, 0; ___ (1X1) __ (X01)_(11X) PS/PM 2, 4 фигуры aee
1, 1, 1. ___ (1X1) __ (X11)_(10X) MS/PS 1, 2 фигуры eae
2 формула
1, 0, 1; ___ (1X0) __ (X10)_(01X) MM 3 фигура oao
1, 1, 1; ___ (1X1) __ (X11)_(01X)MM/PM 3, 4 фигуры iai
3 формула
1, 0, 0; ___ (1X0) __ (X01)_(10X) PS 2 фигура aoo
1, 0, 1; ___ (1X0) __ (X11)_(11X) 1, 2, 3, 4 фигуры eio
1, 1, 1. ___ (1X1) __ (X10)_(11X) MS/MM 1, 3 фигуры aii
4 формула
1, 0, 1; ___ (1X0) __ (X11)_(01X) MM/PM 3, 4 фигуры eao
1, 1, 1. ___ (1X1) __ (X10)_(01X) MM 3 фигура aai

Субъектами посылок 1 фигуры являются термины M и S.
Субъектами посылок 2 фигуры являются термины P и S.
Субъектом посылок 3 фигуры является в обоих случаях термин M.
Субъектами посылок 4 фигуры являются термины P и M.
модусы 1 фигуры - aaa, eae, aii, eio;
модусы 2 фигуры - eae, aee, eio, aoo;
модусы 3 фигуры - aai, iai, aii, eao, oao, eio;
модусы 4 фигуры - aai, aee, iai, eao, eio.

Рёбра (X11) и (11X) имеют два варианта направления. Они встречаются в перечисленных вариантах пять раз по одному и один раз парой.
Таким образом, при перечислении правильных силлогизмов к 11 основным вариантам прибавляются ещё 5 и 3, возникшие благодаря равнозначным суждениям-посылкам.

14. Сопоставление с традиционными правилами

Рассмотрим утверждение, что хотя бы одна из посылок должна быть утвердительной.
Пойдём от обратного и попытаемся найти такие варианты, чтобы обе посылки были отрицательными.
Виды отрицательных суждений — E и O. Суждение вида E определяет отрицательное ребро силлогистического куба без нулей в кортеже (не путать отрицательность ребра и отрицательность суждения). Суждение вида O задаёт положительное ребро силлогистического куба с нулём в кортеже.
Рассмотрим по формулам.
В формуле 1 оба ребра отрицательны. В первом кортеже стоит компонента a, а во втором — (a-1). Понятно, что обе эти компоненты одновременно быть равными единице не могу. Одна из них будет равна нулю, следовательно, содержащий ее кортеж не соответствует суждению вида E.
В формуле 2 первое ребро положительно, а второе отрицательно. В кортеже второго ребра стоит компонента (n-1). При обязательном для этой формулы условии n=1 эта компонента равна нулю. Следовательно, кортеж не соответствует суждению вида E.
В формуле 3 первое ребро отрицательно, а второе положительно. В обоих кортежах присутствует компонента a. Чтобы первый кортеж соответствовал суждению вида E, необходимо a=1. Но компоненты второго кортежа - a и n. По обязательному условию для этой формулы n=1. Если и a=1, то второй кортеж не соответствует суждению вида O.
В формуле 4 оба ребра отрицательны. Во втором кортеже стоит компонента (n-1). При обязательном для этой формулы условии n=1 эта компонента равна нулю. Следовательно, второй кортеж не соответствует суждению вида E.
Перебрав все формулы мы ни в одной не нашли возможности, чтобы одновременно оба кортежа в них соответствовали суждениям видов E и O. Следовательно, в правильных силлогизмах обе посылки не могут быть отрицательными. Проверяемое утверждение истинно.

Рассмотрим утверждение, что если обе посылки утвердительны, то и заключение утвердительно.
Утвердительными являются суждения видов A и I. Суждение вида A определяет отрицательное ребро силлогистического куба с нулём в кортеже. Суждение вида I определяет положительное ребро силлогистического куба без нуля в кортеже.
Отрицательное ребро заключения имеется в конфигурации 1, описываемой формулой 1.
Чтобы заключение было суждением вида A, одна из его компонент n, m должна быть равна нулю.
В первом кортеже формулы присутствует компонента m. Если m=0, то по условию формулы a=1. Тогда во втором кортеже компонента (1-a) равна нулю.
В обоих кортежах присутствует 0, оба кортежа соответствуют суждениям вида A.
Во втором кортеже формулы присутствует компонента n. Если n=0, то по условию формулы a=0. Компонента a присутствует в первом кортеже.
В обоих кортежах в любом случае присутствует 0, оба кортежа соответствуют суждениям вида A. Обе посылки утвердительные.
В остальных конфигурациях и формулах ребро заключения положительно. Обе его компоненты n и m равны единице.
В формуле 2 первое ребро положительно, а второе отрицательно.
Компоненты первого кортежа — a, m. По условию формулы a=1. Кортеж соответствует суждению вида I.
Во втором кортеже стоит компонента (1-n), она равна нулю. Кортеж соответствует суждению вида A.
Обе посылки утвердительные.
В формуле 3 первое ребро отрицательно, а второе положительно.
В первом кортеже присутствует компонента (m-1). Она равна нулю. Кортеж соответствует суждению вида A.
Компоненты второго кортежа — n, a. По условию формулы a=1, кортеж соответствует суждению вида I.
Обе посылки утвердительные.
В формуле 4 оба ребра отрицательны.
В первом кортеже присутствует равная нулю компонента (1-m), во втором — равная нулю компонента (1-n). Оба кортежа соответствуют суждениям вида A.
Обе посылки утвердительные.
Перебрав все формулы находим, что проверяемое утверждение истинно.